En Sosyal Blog

0 Doğal ve Tam sayı mıdır?

0 Doğal ve Tam sayı mıdır?

Lise ve ilköğretim müfredatına göre doğal sayı olarak kabul ediyoruz. Yani bu soruyu soran kişi  Google’dan derslerin için merak edip arattıysan evet, sıfır doğal sayıdır. Ve aynı zamanda bir tam sayıdır.

Fakat bazı çevrelerce bu konu tartışmalıdır. Sıfırın Doğal sayı olmadığını söyleyenlerde var. İki Tarafın İddialarını da buraya ekliyorum.

Sıfır Doğal Sayıdır

Biraz daha derli toplu bir açıklama yapma zamanı geldi sanırım. Alfabesinden başlıyayım. Rakam ne? Sayıları yazabilmek için kullandıgımız kargacık burgacık işaretler. Onluk basamak sistemi kullandiğımız için bu isaretlerden 10 tanesine ihtiyaç duymaktayız. (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0). Bunları (rakamları) kullanarak bütün saýıları yazabiliriz. İkili sistem kullanırken ihtiyaç duyduğumuz “şekil” sayısı sadece ikiye iner.

Peki sayı ne? Sayının ne olduğunu binlerce yıldır insanlık biliyor. Ama tutarlı bir tarif yapabilmek icin 19. yüzyıli beklemek gerekmiş. Babil, hint, arap, euler, gauss, fermat diye uzun uzadıya sayı teorisinin gelisimini anlatmaya gücüm yetmez; burada sadece 19. yuzyıldan iki örnek verecegim.

-Dogal sayı ne demektir? Dogal sayı herhangi bir kümenin eleman sayısidır.
-Dogal sayılar kümesinin ilk elemanı 0 ‘dır. 0 boş kümenin eleman sayısidir.
– Dogal sayılar kümesinin n+1 inci elemanı n U {n} dir.
– Bu durumda;
0 = {}
1= 1 U {} = {1}
2 = 2 U {1} = {1,2}
diye gider.

Veya Peano aksiyomları;

1) 0 bir doğal sayıdır
2) Her dogal sayı için ………
(Sirasiyla eşitlik, yansima, geçisme özelliklerini tarif eder)

Dikkat ettiysen aksiyom kavramini kullandim (kullanmıslar) hep. Ortada bu kesin olarak böyledir denilecek bir durum yok. Tutarlı bir sistem kurabilmek için öncelikle bir takım aksiyomlar ileri sürüyoruz ve sistemimizi bu aksiyomlar üzerine inşa ediyoruz. Farklı aksiyomlar ile farklı sistemler inşa etmek şuphesiz mumkün.

O hiç suphesiz bir sayıdır. En basit şekliyle elinde kaç tane elma olduğu sorusunun cevabıdır sayı. Ve elinde 2, 3 elma olabileceği gibi hiç elma da olmayabilir. (Aslında hiç olmamasınin ötesinde, arkadaşina bir kaç tane borçlu bile olabilirsin ! )

….-3,-2,-1,0,1,2,3… tam sayılar (integers) kümesini oluşturur. Tam sayılar kümesi, negatif integer’lar; 0 ve pozitif integer’ların toplamından oluşur. Tartısilan şey dogal sayılar kümesi (natural numbers) dediğimiz zaman eskiden oldugu gibi 0 + pozitif tam sayıları mi kastedecegiz; yoksa sadece pizitif tam sayıları mı kastedecegiz ?

Dedigim gibi genel kabul ve ögrenciler için en önemlisi müfredat yani sınavlarda da beklenen cevap klasik görüşten yana.

Sıfır Doğal Sayı Değildir

İddia: Sıfır Doğal sayı değildir. Doğal sayılar Peona aksiyomlarına göre inşa edilmiştir. Aksiyomlar matematiğin başlangıç noktası. Bir küme belli aksiyomatik yapıyla oluşturulur bu yüzden sıfır doğal sayı değil ama tam sayıdır.

Peona aksiyomları
1) “1” sayısı bir doğal sayıdır.
2) Her a doğal sayısına a’nin ardışığı diyebileceğimiz bir a^(+) ile gosterebilecegimiz bir doğal sayı vardır.
3) “1” hiçbir doğal sayının ardışığı değildir.
4) a eşit değil b ise a ^(+) eşit değildir b^(+)
Bu aksiyomatik yapıya göre sıfır bir doğal sayı değildir.

Willard’in general topology kitabından (1970). Makalelerde atıf yapılan sadece ders kitabı olmayan bir kaynak. Analiz yapmadan önce çalışmam gerektiği için okuyordum. Yani gerçel analiz için yine buradakiler geçerli olacak. N doğal sayılar kümesini pozitif tam sayılar olarak vermiş.

Peano aksiyomlarinin ilk yayinlandigi metnin gorseli . Buradada N pozitif integers olarak tanimlanmis.
ZİYARETÇİ YORUMLARI

Henüz yorum yapılmamış. İlk yorumu aşağıdaki form aracılığıyla siz yapabilirsiniz.

BİR YORUM YAZ

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.